A variational method for joint tracking of curve and motion

In this paper, a new framework for the tracking of closed curves and their associated motion fields is described. The proposed approach enables a continuous tracking along an image sequence of both a deformable curve and velocity field. Such an approach is formalized through the minimization of a global spatio-temporal continuous cost functional, w.r.t a set of variables representing the curve and its related motion field. Relying on an optimal control technique, the resulting minimization sequence consists in a forward integration of an evolution law followed by a backward integration of an adjoint evolution model. This latter pde includes a term related to the discrepancy between the state variables evolution law and discrete noisy measurements of the system. The closed curves are represented through implicit surface modeling, whereas the motion is described either by a vector field or through vorticity and divergence maps depending on the kind of targeted applications. The efficiency of the approach is demonstrated on two types of image sequences showing deformable objects and fluid motions. Key-words: Optimal control; dynamical model; tracking of curves; variational method Méthode variationnelle pour le suivi couplé de courbes et de mouvement Résumé : Dans cet article, nous décrivons un nouveau procédé permettant de suivre des courbes fermées et leur champ de mouvement associé. La méthode proposée réalise le suivi continu d’une courbe déformable et d’un champ de vitesse au cours d’une séquence d’images. Le problème consiste à minimiser une fonctionnelle spatio-temporelle globale par rapport à un ensemble de variables représentant la courbe et son mouvement associé. En s’appuyant sur le principe du contrôle optimal, une loi d’évolution est intégrée le long de la séquence, puis sa loi d’évolution adjointe est intégrée rétrogradement. Cette dernière équation aux dérivées partielles est liée à un terme de distance entre les variables d’état fournies par la première intégration et des mesures discrètes du système. Les courbes fermées sont représentées par des surfaces implicites. Le mouvement est quant à lui décrit, suivant l’application, par un champ de vecteurs ou par des cartes de vorticité et de divergence. L’efficacité de l’approche est démontrée sur deux types de séquences d’images présentant des objets déformables et des mouvements fluides. Mots-clés : Contrôle optimal; modèle dynamique; suivi de courbes; méthode variationnelle A variational method for joint tracking of curve and motion 3